Ejemplo 1

El vector (0,0,3) es combinación lineal de (0,0,1) ya que:

(0,0,3)=3(0,0,1)

Veamos cómo se puede pensar esto desde la perspectiva geométrica. ¿Qué vectores pueden expresarse como combinación lineal del vector (0,0,1)?

Todos los vectores (0,0,k) con kR. Es decir que todos los vectores sobre el eje z, son combinación lineal de (0,0,1).

Ejemplo 2

El vector (1,0,4) es combinación lineal de (1,0,1),(0,0,2) ya que:

1.(1,0,1)+32.(0,0,2)=(1,0,4)

Geométricamente el vector (1,0,4) es un vector coplanar con los vectores (1,0,1) y (0,0,2). Se puede ver en la siguiente gráfica que pertenecen al plano y=0:

Ejemplo 3

El vector 8x4x2 es combinación lineal de los vectores x y x2 ya que:

8x4x2=8.(x)+(4).x2

Ejemplo 4

¿Es el vector (1,8) combinación lineal de los vectores (1,0),(3,3)?

Para responder esto debemos buscar si existen escalares α,β tales que:

(1,8)=α(1,0)+β(3,3)

{1=α+3β8=3βα=7,β=83

Como existen escalares que satisfacen la igualdad entonces (1,8) es combinación lineal de (1,0),(3,3).

Ejemplo 5

¿Para qué valores de k el vector (1,2,3) es combinación lineal de los vectores (1,0,0),(0,1,0),(0,2,k)?

Para responder esto debemos buscar si existen escalares α,β,γ tales que:

(1,2,3)=α(1,0,0)+β(0,1,0)+γ(0,2,k)

{α=1β+2γ=2γk=3

Si k=0 la tercera ecuación queda 0=3, y el sistema es incompatible. Si k0 entonces se puede obtener γyβ.

Entonces para todo k0 el vector (1,2,3) se puede expresar como combinación lineal de los vectores dados.